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[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．
[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．
admin
2019-05-16
55
问题
[2010年] 求函数f(x)=∫
1
x
2
(x
2
一t)e
-t
2
dt的单调区间与极值．
选项
答案
(1) f(x)=∫
1
x
2
(x
2
一t)e
-t
2
dt =x
2
∫
1
x
2
e
-t
2
dt—∫
1
x
2
te
-t
2
dt， f’(x)=2xe∫
1
x
2
e
-t
2
dt+2x
3
e
-x
4
—2x
3
e
-x
4
=2x∫
1
x
2
e
-t
2
dt. ① 令f(x)=0，由式①得到驻点x=0，x=±1．下面分别考察f(x)在区间(一∞，一1)，[一1，0)，[0，1)，[1，+∞)上的单调性．进一步，易求得 [*] 因此f(x)的单调减少区间是(一∞，一1]∪[0，1]，单调增加区间是[一1，0]∪[1，+∞)． (2)求出驻点x=0，x=±1后，再求驻点处的二阶导数． 又因f’’(x)=2∫
1
x
2
e
-t
2
dt+4x
2
e
-x
4
，故f’’(0)=2∫
0
1
e
-t
2
dt＜0，f’’(±1)=4e
-1
＞0． 于是f(0)=∫
0
1
(0一t)e
-t
2
dt=[*]为极大值，f(±1)=0为极小值．
解析
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考研数学一
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