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  3. (Ⅰ)设f(x)连续，证明：∫0πxf(sinx)dx=f(sinx)dx； (Ⅱ)求I=sin2xarctanexdx．

(Ⅰ)设f(x)连续，证明：∫0πxf(sinx)dx=f(sinx)dx； (Ⅱ)求I=sin2xarctanexdx．

admin2017-10-23  21
问题 (Ⅰ)设f(x)连续，证明：∫0πxf(sinx)dx=f(sinx)dx；
    (Ⅱ)求I=sin2xarctanexdx．
选项
答案(Ⅰ)令g(x)=xf*sinx)，则g(x)在[0，π]上连续，注意到sin(π—x)=sinx，于是g(π一x)=(π—x)f[sin(π—x)]=(π一x)f(sinx)，由(*)式可得 [*] (Ⅱ)由于1+cos2x=2—sin2x，从而可用(Ⅰ)的结果，即 [*]
解析 在定积分∫0af(x)dx中作换元，令t=a一x可得x：0→a对应t：a→0，且dx=一dt，于是
    ∫0af(x)dx=一∫a0f(a一t)dt=∫0af(a一t)dt=∫0af(a—x)dx，
  从而有  ∫0af(c)dc=∫0a[f(x)+f(a一x)]dx．    (*)
当(*)式右端的定积分容易计算时，(*)式就是积分∫0af(x)dx的一个简化计算公式．
    在定积分∫—aaf(x)dx中，除f(x)是[一a，a]上的奇函数或偶函数时有简化计算公式外，当f(x)是不具奇偶性的某些函数时也有如下的简化计算公式．
    首先∫—aaf(x)dx=∫0af(x)dx+∫—a0f(x)dx，在∫—a0f(x)dx中作换元，令t=一x可得x：一a→0对应t：a→0，且dx=一dt，于是
    ∫—a0f(x)dx=一∫a0f(—t)dt=∫0af(—t)dt=∫0af(一x)dx，
从而有    ∫—aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(一x)]dx．    (**)
当(**)式右端的定积分容易计算时，(**)式就是积分∫—aaf(x)dx的一个简化计算公式．
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考研数学三

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