设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=一1nf(x)dx(n=1,2,…).证明: 反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散.

admin2015-07-22  44

问题 设f(x)是在区间[1,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=1nf(x)dx(n=1,2,…).证明:
反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散.

选项

答案由于f(x)非负,所以∫1x f(t)dt为x的单调增加函数.当n≤x≤n+1时, ∫1n f(t)dt≤∫1x f(t)dt≤∫1n+1 f(t)dt,所以 [*] 从而推知 [*]

解析 由f(x)单调减少,当k≤x≤k+1时,可以写出关于f(x)的一个不等式,两边从k到k+1积分,便可得到关于an的一个表达式.
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