设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数，an=一1nf(x)dx(n=1，2，…)．证明：反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散．

admin2015-07-22 102

问题设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数，a_n=

一₁ⁿf(x)dx(n=1，2，…)．证明：
反常积分∫₁^+∞f(x)dx与无穷级数

同敛散．

选项

答案由于f(x)非负，所以∫₁^x f(t)dt为x的单调增加函数．当n≤x≤n+1时， ∫₁ⁿ f(t)dt≤∫₁^x f(t)dt≤∫₁ⁿ⁺¹ f(t)dt，所以 [*] 从而推知 [*]

解析由f(x)单调减少，当k≤x≤k+1时，可以写出关于f(x)的一个不等式，两边从k到k+1积分，便可得到关于a_n的一个表达式．

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