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设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．
设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．
admin
2016-09-13
96
问题
设数列｛a
n
｝满足a
1
=a
2
=1，且a
n+1
=a
n
+a
n－1
，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜
时幂级数
收敛，并求其和函数与系数a
n
．
选项
答案
(1)显然，｛a
n
｝是正项严格单调增加数列，且有a
3
=2，a
4
=a
2
+a
3
＜2a
3
=2
2
，假设a
n
＜2
n－2
，则有a
n+1
=a
n
+a
n－1
＜2a
n
＜2
n－1
，故由归纳法得a
nn－2．于是，所考虑的级数的通项有｜a
n
x
n－1
｜＜[*](2x)
n－1
．因级数[*](2x)
n－1
在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数[*]a
n
x
n－1
在｜2x｜＜1，即｜x｜＜[*]时绝对收敛． (2)原幂级数化为 [*] 移项后得原幂级数的和函数为[*] (3)将[*]展开为x的幂级数，有 [*] 而[*]又是幂级数[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂 级数的系数， [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ART4777K
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考研数学三
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