设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

admin2016-09-13 74

问题设数列｛a_n｝满足a₁=a₂=1，且a_n+1=a_n+a_n－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜

时幂级数

收敛，并求其和函数与系数a_n．

选项

答案(1)显然，｛a_n｝是正项严格单调增加数列，且有a₃=2，a₄=a₂+a₃＜2a₃=2²，假设a_n＜2^n－2，则有a_n+1=a_n+a_n－1＜2a_n＜2^n－1，故由归纳法得a_{nn－2．于是，所考虑的级数的通项有｜a_nx^n－1｜＜[*](2x)^n－1．因级数[*](2x)^n－1在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数[*]a_nx^n－1在｜2x｜＜1，即｜x｜＜[*]时绝对收敛．
(2)原幂级数化为
[*]
移项后得原幂级数的和函数为[*]
(3)将[*]展开为x的幂级数，有
[*]
而[*]又是幂级数[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂
级数的系数，
[*]}

解析

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考研数学三

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设数列｛an｝满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

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[*]

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