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设数列{an}满足a1=a2=1,且an+1=an+an-1,n=2,3,….证明:在|x|<时幂级数收敛,并求其和函数与系数an.
设数列{an}满足a1=a2=1,且an+1=an+an-1,n=2,3,….证明:在|x|<时幂级数收敛,并求其和函数与系数an.
admin
2016-09-13
65
问题
设数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=1,且a
n+1
=a
n
+a
n-1
,n=2,3,….证明:在|x|<
时幂级数
收敛,并求其和函数与系数a
n
.
选项
答案
(1)显然,{a
n
}是正项严格单调增加数列,且有a
3
=2,a
4
=a
2
+a
3
<2a
3
=2
2
,假设a
n
<2
n-2
,则有a
n+1
=a
n
+a
n-1
<2a
n
<2
n-1
,故由归纳法得a
n
n-2.于是,所考虑的级数的通项有|a
n
x
n-1
|<[*](2x)
n-1
.因级数[*](2x)
n-1
在|2x|<1时收敛,故由比较审敛法知,级数[*]a
n
x
n-1
在|2x|<1,即|x|<[*]时绝对收敛. (2)原幂级数化为 [*] 移项后得原幂级数的和函数为[*] (3)将[*]展开为x的幂级数,有 [*] 而[*]又是幂级数[*]的和函数,则由幂级数展开式的唯一性,经比较系数得原幂 级数的系数, [*]
解析
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考研数学三
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