设数列{an}满足a1=a2=1,且an+1=an+an-1,n=2,3,….证明:在|x|<时幂级数收敛,并求其和函数与系数an.

admin2016-09-13  44

问题 设数列{an}满足a1=a2=1,且an+1=an+an-1,n=2,3,….证明:在|x|<时幂级数收敛,并求其和函数与系数an

选项

答案(1)显然,{an}是正项严格单调增加数列,且有a3=2,a4=a2+a3<2a3=22,假设an<2n-2,则有an+1=an+an-1<2an<2n-1,故由归纳法得ann-2.于是,所考虑的级数的通项有|anxn-1|<[*](2x)n-1.因级数[*](2x)n-1在|2x|<1时收敛,故由比较审敛法知,级数[*]anxn-1在|2x|<1,即|x|<[*]时绝对收敛. (2)原幂级数化为 [*] 移项后得原幂级数的和函数为[*] (3)将[*]展开为x的幂级数,有 [*] 而[*]又是幂级数[*]的和函数,则由幂级数展开式的唯一性,经比较系数得原幂 级数的系数, [*]

解析
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