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  3. [2014年] 已知函数f(x，y)满足=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)2一(2一y)lny，求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积．

[2014年] 已知函数f(x，y)满足=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)2一(2一y)lny，求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积．

admin2019-04-05  104
问题 [2014年]  已知函数f(x，y)满足=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)2一(2一y)lny，求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积．
选项
答案按平面图形绕平行于坐标轴y=一1的直线旋转所得的体积公式(1．3．5．8)： V=π∫12[y一(一1)]dx求之，为此需先求出(y+1)2的表达式． 在[*]=2(y+1)两边对y积分得到f(x，y)=y2+2y+c(x)．又由题设有 f(y，y)=(y+1)2－(2一y)lny，因而(y+1)2一(2一y)lny=y2+2y+c(y)． 则C(y)=1一(2一y)[ny，于是C(x)=1一(2一x)lnx，因而 f(x，y)=y2+2y+1一(2－x)lnx=(y+1)2一(2－x)lnx． 曲线f(x，y)=0即(y+1)2=(2一x)lnx，注意到(y+1)2≥0，有x∈[1，2]．于是所求的旋转体体积为 V=∫12π(y+1)2dx=π∫12(2一x)lnxdx=π∫122lnxdx一[*]∫12lnxdx2 =2π(xlnx∣12·∫12x·[*]dx)—[*](x2lnx∣12—∫12x2·[*]dx) =2π(2ln2—1)一[*].
解析
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考研数学二

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