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已知α1,α2,α3,α4是三维非零列向量,则下列结论 ①若α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关; ②若α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,则α1,α2,α4也线性相关; ③若r(α1,α1+α2,α2+α3)=r
已知α1,α2,α3,α4是三维非零列向量,则下列结论 ①若α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关; ②若α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,则α1,α2,α4也线性相关; ③若r(α1,α1+α2,α2+α3)=r
admin
2020-03-02
56
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是三维非零列向量,则下列结论
①若α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,则α
1
,α
2
,α
3
线性相关;
②若α
1
,α
2
,α
3
线性相关,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,则α
1
,α
2
,α
4
也线性相关;
③若r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
),则α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出。
其中正确的个数是( )
选项
A、0。
B、1。
C、2。
D、3。
答案
C
解析
因为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是三维非零列向量,所以α
1
,α
2
,α
3
,α
4
必线性相关。
若α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则α
4
必能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,可知结论①正确。
令α
1
=(1,0,0)
T
,α
2
=(0,1,0)
T
,α
3
=(0,2,0)
T
,α
4
=(0,0,1)
T
,则α
1
,α
2
,α
3
线性相关,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,但α
1
,α
2
,α
4
线性无关,可知结论②错误。
由于 (α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)→(α
1
,α
2
,α
2
+α
3
)→(α
1
,α
2
,α
3
),
(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
)→(α
4
,α
1
,α
2
,α
3
)→(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),
所以r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
),r(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),
则当r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
)时,可得r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),因此α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表示。可知结论③正确。所以选C。
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