2. 考研
  3. 设二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3) (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?

设二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3) (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?

admin2020-04-22  26
问题 设二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3)

(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；
(Ⅱ)求该二次型；
(Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?
选项
答案(Ⅰ)由题设条件 [*] 故B的3个列向量都是Ax=0的解向量，也是A的对应λ=0的特征向量，其中 [*] 线性无关且正交， [*]=ξ1+ξ2，故λ=0至少是二重特征值． 又因[*] 另一个特征值是λ3=2，故λ1=λ2=0是二重特征值．因A是实对称矩阵，故对应λ3=2的特征向量应与ξ1，ξ2正交，设ξ3=(x1，x2，x3)T，则有 [*] 故存在正交变换x=Qy，其中 [*] (Ⅱ)先求二次型对应矩阵，因 [*] 故所求二次型为f(x1，x2，x3)=[*](x12+x22+4x32+2x1x2－4x1x3－4x2x3)=[*](x1+x2－2x3)2． (Ⅲ)由(Ⅱ)得二次型 f(x1，x2，x3)=[*](x12+x22+4x32+2x1x2－4x1x3－4x2x3)=[*](x1+x2－2x3)2， 若f(x1，x2，x3)=1，得x1+x2－2x3=[*]表示两个平行平面．
解析
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考研数学一

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