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设二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3) (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?
设二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3) (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?
admin
2020-04-22
37
问题
设二次型F(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=(x
1
，x
2
，x
3
)
(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；
(Ⅱ)求该二次型；
(Ⅲ)f(x
1
，x
2
，x
3
)=1表示什么曲面?
选项
答案
(Ⅰ)由题设条件 [*] 故B的3个列向量都是Ax=0的解向量，也是A的对应λ=0的特征向量，其中 [*] 线性无关且正交， [*]=ξ
1
+ξ
2
，故λ=0至少是二重特征值． 又因[*] 另一个特征值是λ
3
=2，故λ
1
=λ
2
=0是二重特征值．因A是实对称矩阵，故对应λ
3
=2的特征向量应与ξ
1
，ξ
2
正交，设ξ
3
=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则有 [*] 故存在正交变换x=Qy，其中 [*] (Ⅱ)先求二次型对应矩阵，因 [*] 故所求二次型为f(x
1
，x
2
，x
3
)=[*](x
1
2
+x
2
2
+4x
3
2
+2x
1
x
2
－4x
1
x
3
－4x
2
x
3
)=[*](x
1
+x
2
－2x
3
)
2
． (Ⅲ)由(Ⅱ)得二次型 f(x
1
，x
2
，x
3
)=[*](x
1
2
+x
2
2
+4x
3
2
+2x
1
x
2
－4x
1
x
3
－4x
2
x
3
)=[*](x
1
+x
2
－2x
3
)
2
， 若f(x
1
，x
2
，x
3
)=1，得x
1
+x
2
－2x
3
=[*]表示两个平行平面．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/B7S4777K
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考研数学一
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