设二次型F(x1，x2，x3)=xTAx=(x1，x2，x3) (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?

admin2020-04-22 28

问题设二次型F(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=(x₁，x₂，x₃)

(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；
(Ⅱ)求该二次型；
(Ⅲ)f(x₁，x₂，x₃)=1表示什么曲面?

选项

答案(Ⅰ)由题设条件 [*] 故B的3个列向量都是Ax=0的解向量，也是A的对应λ=0的特征向量，其中 [*] 线性无关且正交， [*]=ξ₁+ξ₂，故λ=0至少是二重特征值．又因[*] 另一个特征值是λ₃=2，故λ₁=λ₂=0是二重特征值．因A是实对称矩阵，故对应λ₃=2的特征向量应与ξ₁，ξ₂正交，设ξ₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则有 [*] 故存在正交变换x=Qy，其中 [*] (Ⅱ)先求二次型对应矩阵，因 [*] 故所求二次型为f(x₁，x₂，x₃)=[*](x₁²+x₂²+4x₃²+2x₁x₂－4x₁x₃－4x₂x₃)=[*](x₁+x₂－2x₃)²． (Ⅲ)由(Ⅱ)得二次型 f(x₁，x₂，x₃)=[*](x₁²+x₂²+4x₃²+2x₁x₂－4x₁x₃－4x₂x₃)=[*](x₁+x₂－2x₃)²，若f(x₁，x₂，x₃)=1，得x₁+x₂－2x₃=[*]表示两个平行平面．

解析

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考研数学一

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