设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

admin2017-12-29 58

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，所以r（B^TAB）=n，又因为r（B^TAB）≤r（B）≤n，所以r（B）=n。充分性：因（B^TAB）^T=B^TA^T（B^T）^T=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵。若r（B）=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有（Bx）^TA（Bx）＞0。于是当x≠0，有x^T（B^TAB）x=（Bx）^TA（Bx）＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BLX4777K

考研数学三

相关试题推荐

设(1)求证：若b＞1，则发散；(2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．
设Yt，Ct，It分别是t期的国民收入、消费和投资，三者之间有如下关系求Yt．
A，B均是n阶矩阵，且AB—A+B．证明：A—E可逆，并求(A—E)-1．
证明：若A为n阶方阵，则有|A*|—f(一A)*|(n≥2)．
设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．
积分=()
已知α1=[一1，1，a，4]T，α2=[一2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为()
将函数f(x)=展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．
设区域D1为以(0，0)，(1，1)，为顶点的四边形，D2为以为顶点的三角形，而D由D，与D：合并而成。随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度fX(x)、fY(y)。
求函数的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线．

随机试题

A．氧氟沙星B．磺胺嘧啶C．甲氧苄啶D．呋喃唑酮E．甲硝唑
患儿，男，7岁。四肢短小，手指粗短，通贯手。首先考虑为()
A．宗气B．卫气C．营气D．元气E．水气化生血液的是()。
患儿，女，32周早产小于胎龄儿，生后出现哭声异常，阵发性青紫，肢体抖动。实验室检查：血糖1．7mmol／L，诊断为新生儿低血糖。常见病因是
1mol理想气体从平衡态2P1、V1沿直线变化到另一平衡态P1、2V，则此过程中系统的功和内能的变化是()。
建国以来，高等教育体制几经变动，但基本上由政府统包统办和直接管理。改革开放以来，高教体制改革迈出了重要步伐，取得了很大成绩，但从总体看来，仍然落后于经济体制改革进程和社会发展。这段话主要支持了这样一种观点：
“校本课程开发”的核心是()。
Whatdoesthehamburgersayaboutourmodernfoodeconomy?Alot,actually.OverthepastseveralyearsWaldoJaquithintendedt
当发生硬件故障时，软件系统能具有适当的能力称为系统的______。
Nowadayswomenwear______.Today,womenthinkthatbootsare______.

最新回复(0)

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

考研数学三

设(1)求证：若b＞1，则发散；(2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．

设Yt，Ct，It分别是t期的国民收入、消费和投资，三者之间有如下关系求Yt．

A，B均是n阶矩阵，且AB—A+B．证明：A—E可逆，并求(A—E)-1．

证明：若A为n阶方阵，则有|A|—f(一A)|(n≥2)．

设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

积分=()

已知α1=[一1，1，a，4]T，α2=[一2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为()

将函数f(x)=展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．

设区域D1为以(0，0)，(1，1)，为顶点的四边形，D2为以为顶点的三角形，而D由D，与D：合并而成。随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度fX(x)、fY(y)。

求函数的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线．

A．氧氟沙星B．磺胺嘧啶C．甲氧苄啶D．呋喃唑酮E．甲硝唑

患儿，男，7岁。四肢短小，手指粗短，通贯手。首先考虑为()

A．宗气B．卫气C．营气D．元气E．水气化生血液的是()。

患儿，女，32周早产小于胎龄儿，生后出现哭声异常，阵发性青紫，肢体抖动。实验室检查：血糖1．7mmol／L，诊断为新生儿低血糖。常见病因是

1mol理想气体从平衡态2P1、V1沿直线变化到另一平衡态P1、2V，则此过程中系统的功和内能的变化是()。

“校本课程开发”的核心是()。

Whatdoesthehamburgersayaboutourmodernfoodeconomy?Alot,actually.OverthepastseveralyearsWaldoJaquithintendedt

当发生硬件故障时，软件系统能具有适当的能力称为系统的______。

Nowadayswomenwear.Today,womenthinkthatbootsare.

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

考研数学三

设(1)求证：若b＞1，则发散；(2)当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．

设Yt，Ct，It分别是t期的国民收入、消费和投资，三者之间有如下关系求Yt．

A，B均是n阶矩阵，且AB—A+B．证明：A—E可逆，并求(A—E)-1．

证明：若A为n阶方阵，则有|A*|—f(一A)*|(n≥2)．

设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

积分=()

已知α1=[一1，1，a，4]T，α2=[一2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为()

将函数f(x)=展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．

设区域D1为以(0，0)，(1，1)，为顶点的四边形，D2为以为顶点的三角形，而D由D，与D：合并而成。随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度fX(x)、fY(y)。

求函数的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线．

A．氧氟沙星B．磺胺嘧啶C．甲氧苄啶D．呋喃唑酮E．甲硝唑

患儿，男，7岁。四肢短小，手指粗短，通贯手。首先考虑为()

A．宗气B．卫气C．营气D．元气E．水气化生血液的是()。

患儿，女，32周早产小于胎龄儿，生后出现哭声异常，阵发性青紫，肢体抖动。实验室检查：血糖1．7mmol／L，诊断为新生儿低血糖。常见病因是

1mol理想气体从平衡态2P1、V1沿直线变化到另一平衡态P1、2V，则此过程中系统的功和内能的变化是()。

“校本课程开发”的核心是()。

Whatdoesthehamburgersayaboutourmodernfoodeconomy?Alot,actually.OverthepastseveralyearsWaldoJaquithintendedt

当发生硬件故障时，软件系统能具有适当的能力称为系统的______。

Nowadayswomenwear______.Today,womenthinkthatbootsare______.

证明：若A为n阶方阵，则有|A|—f(一A)|(n≥2)．

Nowadayswomenwear.Today,womenthinkthatbootsare.