求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.

admin2018-09-20  95

问题 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值.

选项

答案由方程组[*]得线段x=0(0≤y≤6),点(4,0),(2,1).而点(4,0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上,只有点(2,1)在D内部,可能是极值点.又 fxx"=8y一6xy一2y2,fxy"=8x一3x2-4xy,fyy"=一2x2. 在点(2,1)处,有 [*] 因为B2一AC=一32<0,且A<0,所以点(2,1)是z=f(x,y)的极大值点,极大值f(2,1)=4. 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上,f(x,y)=0. 在边界x+y=6上,y=6-x.代入f(x,y)中得z=2x3-12x2(0≤x≤6). 由z’=6x2一24x=0得x=0或x=4.在边界x+y=6上对应x=0,4,6处z的值分别为:z|x=0=(2x3一12x2)|x=0=0,z|x=4=(2x3一12x2)|x=4=一64,z|x=6=(2x3—12x2)|x=6=0.I 因此知z=f(x,y)在边界上的最大值为0,最小值为f(4,2)=一64. 将边界上最大值和最小值与驻点(2,1)处的值比较得,z=f(x,y)在闭区域D上的最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=一64.

解析
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