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  3. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0

admin2019-08-26  68
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0<∫’(x)证明：
选项
答案[*] g’(x)=2∫(x) —2f(x) ∫’(x)=2f(x) [1—f’(x)]， 由于0< f’(x)<1，x∈(0，1)，则f(x)在[0，1]内递增． 当0 f(0)=0， 于是g’(x)>0，x∈(0，1)，则g(x)在[0，1]递增， 即当0g(0)=0， 所以，当00， 即F(x)在0≤x≤1时递增，故当0F(0)=0， 特别地，有F(1)>0，即[*] 所以[*]
解析 【思路探索】构造辅助函数，根据单调性理论证明F(x)>0，x∈(0，1]即可．
【错例分析】有些同学没有想到构造变上限积分作辅助函数，只是一心想着用定积分的计算方法和不等式性质去证明，可能就陷于困局，证不出结论．
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考研数学三

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