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求f(χ,y,z)=χ+y-z2+5在区域力:χ2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.
求f(χ,y,z)=χ+y-z2+5在区域力:χ2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.
admin
2022-09-14
40
问题
求f(χ,y,z)=χ+y-z
2
+5在区域力:χ
2
+y
2
+z
2
≤2上的最大值与最小值.
选项
答案
f(χ,y,z)在有界闭区域Ω上连续,一定存在最大、最小值. 第一步,先求f(χ,y,z)在Ω内的驻点. 由[*]f(χ,y,z)在Ω内无驻点,因此f(χ,y,z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到. 第二步,求f(χ,y,z)在Ω的边界χ
2
+y
2
+z
2
=2上的最大、最小值, 从边界方程χ
2
+y
2
+z
2
=2解出z
2
=2-χ
2
-y
2
代入f(χ,y,z)得 f(χ,y,z)[*]=χ+y+χ
2
+y
2
+3[*]g(χ,y) 转化为求g(χ,y)在区域D:χ
2
+y
2
≤2的最大、最小值. 先求g(χ,y)在D内驻点,解方程组 [*] 相应地[*] 再看D的边界χ
2
+y
2
-2=0.还用拉格朗日乘子法,令H(χ,y,λ)=χ+y+χ
2
+y
2
+3+λ(χ
2
+y
2
-2),解方程组 [*] 由前二个方程得χ=y,代入第三个方程后得 χ=y=±1 因此得驻点(χ,y)=(1,1),(-1,1),又 g(-1,-1)=3,g(1,1)=7 因此g(χ,y)在区域D,也就是f(χ,y,z)在区域Ω的最大值为7,最小值为[*].
解析
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考研数学二
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