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已知A是2n+1阶正交矩阵,即AAT=ATA=E,证明:|E-A2|=0.
已知A是2n+1阶正交矩阵,即AAT=ATA=E,证明:|E-A2|=0.
admin
2016-10-20
47
问题
已知A是2n+1阶正交矩阵,即AA
T
=A
T
A=E,证明:|E-A
2
|=0.
选项
答案
由行列式乘法公式(1.10),得|A|
2
=|A|.|A
T
|=|AA
T
|=|E|=1. (Ⅰ)如|A|=1,那么 |E-A|=|AA
T
-A|=|A(A
T
-E
T
)|=|A|.|A-E|=|-(E-A)| =(-1)
2n+1
|E-A|=-|E-A|, 从而|E-A|=0. (Ⅱ)如|A|=-1,那么可由 |E+A|=|AA
T
+A|=|A(A
T
+E
T
)|=|A|.|A+E|=-|E+A|, 得到|E+A|=0.又因|E-A
2
|=|(E-A)(E+A)|=|E-A|.|E+A|, 所以不论|A|是+1或-1,总有|E-A
2
|=0.
解析
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0
考研数学三
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