2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)． (1)证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)； (2)证明存在ξ∈(0，3)，使f”(ξ)=0．

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)． (1)证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)； (2)证明存在ξ∈(0，3)，使f”(ξ)=0．

admin2016-06-27  107
问题 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且
    2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)．
(1)证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；
(2)证明存在ξ∈(0，3)，使f”(ξ)=0．
选项
答案(1)已知2f(0)=∫02f(x)dx，又根据f(x)在[0，2]上是连续的，且由积分中值定理得，至少有一点η∈(0，2)，使得∫02f(x)dx=f(η).(2一0)． 因此可得2f(0)=2f(η)，即存在η∈(0，2)，使得f(η)=f(0)． (2)因f(2)+f(3)=2f(0)，即[*]．又因为f(x)在[2，3]上连续，由介值定理 知，至少存在一点η1∈[2，3]使得f(η1)=f(0)． 因f(0)在[0，η]上连续，在(0，η)上可导，且f(0)=f(η)，由罗尔中值定理知，存在ξ1∈(0，η)，有f’(ξ1)η=0． 又因为f(x)在[η，η1]上是连续的，在(η，η1)上是可导的，且满足f(η)=f(0)=f(η1)，由罗尔中值定理知，存在ξ2∈(η，η1)，有f’(ξ2)=0． 又因为f(x)在[ξ1，ξ2]上是二阶可导的，f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，根据罗尔中值定理，至少存在—点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得f”(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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