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  3. 已知齐次线性方程组 其中ai≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

已知齐次线性方程组 其中ai≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时， (1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

admin2018-07-26  52
问题 已知齐次线性方程组

其中ai≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，
(1)方程组仅有零解；
(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
选项
答案方程组的系数行列式 [*] 为一“行和”相等行列式，将各列加至第1列，然后提取第1列的公因子(b+[*]ai)，再将第1列的(－ai)倍加至第i列(i=2，…，n)，就将行列式化成了下三角行列式： [*] (1)当|A|≠0，即b≠0且b+[*]ai≠0时，方程组仅有零解； (2)当b=0时，原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2+…?+anxn=0， 由[*]ai≠0知a1，a2，…，an不全为零，不妨设a1≠0，则得原方程组的用自由未知量表示的通解为 x1=－[*]xn(x2，x3，…，xn任意)． 由此得方程组的一个基础解系为 α1=(－a2／a1，1，0，…，0)T，α2=(－a3／a1，0，1，…，0)T，…，αn－1=(－an／a1，0，0，…，1)T 当b=－[*]ai时，有b≠0，对原方程组的系数矩阵A作初等行变换：将第1行的(－1)倍分别加至第2，3，…，n行，得 [*] 用1／b乘第i行(i=2，3，…，n)，得 [*] 将第i行的(－ai)倍加至第1行(i=2，3，…，n)，并利用b+[*]ai=0，得 [*] 因此得原方程组的用自由未知量表示的通解为 x2=x1，x3=x1，…，xn=x1，(x1任意) 令x1=1，则得原方程组的一个基础解系为 α=(1，1，…，1)T．
解析
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考研数学三

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