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(2006年)设数列{xn)满足0

admin2019-03-07  43
问题 (2006年)设数列{xn)满足01<π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。
    (I)证明存在，并求该极限；
    (Ⅱ)计算
选项
答案(I)先证明0＜xn＜π，n=1，2，3，…： 当n=1时，结论显然成立； 假设当n=k时，结论成立，也即0＜xk＜π，此时有xk+1=sinxk＞O，同时也有sinxk≤1＜π，因此，0＜xk+1＜π。由数学归纳法可知，0＜xn＜π，n=1，2，3，…。 再证明{xn}单调： 由于xn＞0，可知xn+1=sinxn＜xn，从而{xn}是单调递减的。 由单调有界收敛定理可知，极限[*]存在。令[*]在等式xn+1=sinxn两端同时令n→∞可得a=sina，解得a=0，也即[*] [*] 因此，这是一个1∞型的极限，运用重要极限计算可得 [*]
解析
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考研数学一

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