已知A=二次型f（x1，x2，x3）=xT（ATA）x的秩为2。（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2017-01-21 40

问题已知A=

二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^T（A^TA）x的秩为2。
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求正交变换x=Qy将f化为标准形。

选项

答案（Ⅰ）A^TA=[*] 由r（A^TA）=2可得 |A^TA|=[*]=（a+1）²（a²+3）=0，所以a=—1。（Ⅱ）由（Ⅰ）中结果，令矩阵 [*] 解得矩阵B的特征值为λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6。由（λ_iE—B）x=0，得对应特征值λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6的特征向量分别为 η₁=（—1，—1，1）^T，η₂=（—1，1，0）^T，η₃=（1，1，2）^T。将η₁，η₂，η₃单位化可得： [*] 则正交变换x=Qy可将原二次型化为2y₂²+ 6y₃²。

解析

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