设有齐次线性方程组试问a为何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

admin2018-08-12  33

问题 设有齐次线性方程组试问a为何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

选项

答案对方程组的系数矩阵A施以初等行变换,得[*] ①当a=0时,r(A)=r(B)=1<n.故方程组有非零解,其同解方程组为x1+x2+…+xn=0,由此得基础解系为[*] 所以方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1(k1,k2,…,kn-1为任意常数). ②当a≠0时,对矩阵B继续施以初等行变换[*]故当[*]时,r(A)=n一1<n.方程组也有非零解,其同解方程组为[*] 得基础解系为ξ=(1,2,…,n)T.此时方程组的通解为x=kξ(k为任意常数).

解析 本题考查齐次线性方程组有非零解的判定条件和求解方法.由于未知数的个数与方程组中方程的个数相同,所以可由Ax=0有非零解|A|=0或r(A)<n.由此可求得常数.然后再求齐次线性方程组通解.
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