已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是

admin2014-02-06 63

问题已知α₁,α₂,α₃,α₄是3维非零向量，则下列命题中错误的是

选项 A、如果α₄不能由α₁,α₂,α₃线性表出，则α₁,α₂,α₃线性相关．
B、如果α₁,α₂,α₃线性相关，α₂,α₃,α₄线性相关，那么α₁,α₂,α₄也线性相关．
C、如果α₄不能由α₁，α₂线性表出，α₄不能由α₂，α₃线性表出，则α₁可以由α₂，α₃，α₄线性表出．
D、如果秩r(α₁，α₁+α₂，α₂+α₃)=r(α₄，α₁+α₄，α₂+α₄，α₃+α₄)，则α₄可以由α₁，α₂，α₃线性表出．

答案B

解析例如α₁=(1，0，0)^T，α₂=(0，1，0)^T，α₃=(0，2，0)^T，α₄=(0，0，1)^T，可知B不正确．应选B．关于A：如果α₁,α₂,α₃线性无关，又因α₁,α₂,α₃,α₄是4个3维向量，它们必线性相关，而知α₄必可由α₁,α₂,α₃线性表出．关于C：由已知条件，有(I)r(α₁,α₂)≠r(α₁,α₂,α₃，(II)r(α₂,α₃)≠r(α₂,α₃,α₄)．若r(α₂,α₃)=1，则必有r(α₁,α₂)=r(α₁,α₂,α₃,α₁,α₂,α₃)，与条件(1)矛盾．故必有r(α₂,α₃)=2．那么由(11)知r(α₂,α₃,α₄)=3，从而r(α₁,α₂,α₃,α₄)=3．因此α₄可以由α₂,α₃,α₄线性表出．关于D经初等变换有(α₁，α₁+α₂，α₂+α₃)→(α₁，α₂，α₂+α₃)→(α₁,α₂,α₃)，(α₄，α₁+α₄，α₂+α₄，α₃+α₄)——}(α₄，α₁，α₂，α₃)→(α₁,α₂,α₃,α₄)，从而r(α₁,α₂,α₃)=r(α₁,α₂,α₃,α₄)．因而α₄可以由α₁,α₂,α₃线性表出．

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考研数学三

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