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  3. 设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交变换。

设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交变换。

admin2018-12-19  80
问题 设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交变换。
选项
答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似。由1+1+1=3+3+b得b=一3。 对λ=3，则有 ｜3E—A｜=[*]=一2(a+2)2=0， 因此a=一2(二重根)。 由(3E—A)x=0，得特征向量α1=(1，一1，0)T，α2=(1，0，一1)T。 由(一3E一A)x=0，得特征向量α3=(1，1，1)T。 因为λ=3是二重特征值，对α1，α2正交化有 β1=α1=(1，一1，0)T， [*] 单位化，有 [*] 则令 C=(γ1，γ2，γ3)=[*] 经正交交换x=Cy，二次型化为3y12+3y22一3y32。
解析
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考研数学二

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