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设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)-2f’(ξ)+2=0.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)-2f’(ξ)+2=0.
admin
2021-10-18
62
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(1)=1,且
,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)-2f’(ξ)+2=0.
选项
答案
由[*]得f(0)=0,f’(0)=1,由拉格朗日中值定理,存在c∈(0,1),使得f’(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1,令φ(x)=e
-2x
[f’(x)-1],由f’(0)=f’(c)=1得φ(0)=φ(c)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=-2e
-2x
[f’(x)-1]+e
-2x
f"(x)=e
-2x
[f"(x)-2f’(x)+2],因为e
-2x
≠0,所以f"(ξ)-2f’(ξ)+2=0.
解析
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考研数学二
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