(2002年试题，九)设0

admin2019-03-21 51

问题 (2002年试题，九)设0

选项

答案题设所给待证不等式有两部分，应分别予以证明，先证明右边不等式[*]引入辅助函数[*]则[*]由于已知0’(x)>0，从而f(x)严格单调递增，又f(a)=0，从而f(x)>f(x)=0，令x=b，得f(b)>0，即[*]即[*]即[*]由此右边不等式得证．关于左边不等式，[*]同样可引入辅助函数f(x)=(a²+x²)(1nx—lna)一2a(x一a)，其中0f(a)=0，令x=b，则f(b)>0，即(a²+b²)(1n6一lnb)一2a(b一a)>0，即(a²+b²)(1n6一lna)>2a(b一a)，所以[*]左边不等式亦得证。

解析关于左边不等式

的证明，还可采用以下方法：设f(x)=lnx，x∈[a，b]，由拉格朗日中值定理知存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=lnb—lna=f^’(ξ)(b—a)

已知0所以

即

不等式的证明常用方法有：微分中值定理、极值、最值、单调性及泰勒公式和函数的凸凹性．

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