2. 考研
  3. (1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP。

(1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP。

admin2021-11-26  3
问题 (1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*；
(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP。
选项
答案(1)因为A可逆且A～B，所以B可逆，A，B的特征值相同且|A|=|B|． 因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B， 而A*=|A|A-1，B*=|B|B-1， 于是由P-1AP=B，得(P-1AP)-1=B-1，即P-1A-1P=B-1， 故P-1|A|A-1P=|A|B-1或P-1A*P=B*，于是A*～B*． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P-1AP=B，即AP=PB， 于是AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故AP～BP．
解析
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考研数学一

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