2. 考研
  3. [2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，依概率收敛于__________．

[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，依概率收敛于__________．

admin2021-01-25  79
问题 [2003年]  设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，依概率收敛于__________．
选项
答案1／2
解析 解一  利用辛钦大数定律求之．由于X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机变量样本，X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而由命题3．3．5．1(3)知X12，X22，…，Xn2也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故
                   E(Xi)=E(X)=1／2，D(Xi)=D(X)=(1／2)2=1／4  (i=1，2，…，n)，
则    E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1／4+(1／2)2=2／4=1／2  (i=1，2，…，n)．
    根据辛钦大数定律知，一组相互独立组同分布，数学期望存在的随机变量X1，X2，…，Xn，其算术平均值依概率收敛于数学期望：
                  
即
  
亦即依概率收敛于1／2．
    解二  利用切比雪夫大数定律求之．根据题设，有E(X)=1／2，D(X)=1／4，于是
                     E(X2)=D(x)+[E(X)]2=1／4+1／4=1／2．
因而Xi2(i=1，2，…)的期望存在且相同，均为1／2，即E(Xi2)=1／2．又
                     
故    D(Xi2)=E(Xi2)-[E(Xi2)]2=3／2－1／4=5／4  (i=1，2，…)．
因而X12，X22，…的方差一致有界，由切比雪夫大数定律知
            
故
  
    注：命题3．3．5．1  (3)若随机变量X与Y相互独立，则f(X)与g(Y)也相互独立.此结论对多个随机变量也成立.
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