[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,则当n→∞时,依概率收敛于__________.

admin2021-01-25  74

问题 [2003年]  设总体X服从参数为2的指数分布,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,则当n→∞时,依概率收敛于__________.

选项

答案1/2

解析 解一  利用辛钦大数定律求之.由于X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机变量样本,X1,X2,…,Xn相互独立,且都服从参数为2的指数分布.因而由命题3.3.5.1(3)知X12,X22,…,Xn2也相互独立,且同分布.又X服从参数为2的指数分布,故
                   E(Xi)=E(X)=1/2,D(Xi)=D(X)=(1/2)2=1/4  (i=1,2,…,n),
则    E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1/4+(1/2)2=2/4=1/2  (i=1,2,…,n).
    根据辛钦大数定律知,一组相互独立组同分布,数学期望存在的随机变量X1,X2,…,Xn,其算术平均值依概率收敛于数学期望:
                  

  
亦即依概率收敛于1/2.
    解二  利用切比雪夫大数定律求之.根据题设,有E(X)=1/2,D(X)=1/4,于是
                     E(X2)=D(x)+[E(X)]2=1/4+1/4=1/2.
因而Xi2(i=1,2,…)的期望存在且相同,均为1/2,即E(Xi2)=1/2.又
                     
故    D(Xi2)=E(Xi2)-[E(Xi2)]2=3/2-1/4=5/4  (i=1,2,…).
因而X12,X22,…的方差一致有界,由切比雪夫大数定律知
            

  
    注:命题3.3.5.1  (3)若随机变量X与Y相互独立,则f(X)与g(Y)也相互独立.此结论对多个随机变量也成立.
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