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[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,则当n→∞时,依概率收敛于__________.
[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,则当n→∞时,依概率收敛于__________.
admin
2021-01-25
95
问题
[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布,X
1
,X
2
,…,X
n
为来自总体X的简单随机样本,则当n→∞时,
依概率收敛于__________.
选项
答案
1/2
解析
解一 利用辛钦大数定律求之.由于X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机变量样本,X
1
,X
2
,…,X
n
相互独立,且都服从参数为2的指数分布.因而由命题3.3.5.1(3)知X
1
2
,X
2
2
,…,X
n
2
也相互独立,且同分布.又X服从参数为2的指数分布,故
E(X
i
)=E(X)=1/2,D(X
i
)=D(X)=(1/2)
2
=1/4 (i=1,2,…,n),
则 E(X
i
2
)=D(X
i
)+[E(X
i
)]
2
=1/4+(1/2)
2
=2/4=1/2 (i=1,2,…,n).
根据辛钦大数定律知,一组相互独立组同分布,数学期望存在的随机变量X
1
,X
2
,…,X
n
,其算术平均值依概率收敛于数学期望:
即
亦即
依概率收敛于1/2.
解二 利用切比雪夫大数定律求之.根据题设,有E(X)=1/2,D(X)=1/4,于是
E(X
2
)=D(x)+[E(X)]
2
=1/4+1/4=1/2.
因而X
i
2
(i=1,2,…)的期望存在且相同,均为1/2,即E(X
i
2
)=1/2.又
故 D(X
i
2
)=E(X
i
2
)-[E(X
i
2
)]
2
=3/2-1/4=5/4 (i=1,2,…).
因而X
1
2
,X
2
2
,…的方差一致有界,由切比雪夫大数定律知
故
注:命题3.3.5.1 (3)若随机变量X与Y相互独立,则f(X)与g(Y)也相互独立.此结论对多个随机变量也成立.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Evx4777K
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考研数学三
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