设A是3阶矩阵α1,α2,α3是3维线性无关的列向量,且 Aα1=α1-α2+3α3, Aα2=4α1-3α2+5α3, Aα3=0. 求矩阵A的特征值和特征向量.

admin2016-10-20  38

问题 设A是3阶矩阵α1,α2,α3是3维线性无关的列向量,且
    Aα112+3α3,  Aα2=4α1-3α2+5α3,  Aα3=0.
求矩阵A的特征值和特征向量.

选项

答案由Aα3=0=0α3,知λ=0是A的特征值,α3是λ=0的特征向量. 由已知条件,有 A(α1,α2,α32)=(α12+3α3,4α1-3α2+5α3,0) =(α1,α2,α3)[*] 记P=(α1,α2,α3),由α1,α2,α3线性无关,知矩阵P可逆,进而 P-1AP=B, 其中B=[*] 因为相似矩阵有相同的特征值,而矩阵B的特征多项式 |λE-B|=[*]=λ(λ+1)2, 所以矩阵A的特征值是:-1,-1,0. 对于矩阵B, [*] 所以矩阵B关于特征值λ=-1的特征向量是β=(-2,1,1)T. 若Bβ=λβ,即(P-1AP)β=λβ,亦即λ(Pβ)=λ(Pβ),那么矩阵A关于特征值λ-1的特征向量是 Pβ=(α1,α2,α3)[*]=-2α123. 因此k1(-2α123),k2α3分别是矩阵A关于特征值λ=-1和λ=0的特征向量,(k1k2≠0).

解析
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