设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得且A*α=α． (I)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2017-03-02 45

问题设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得

且A^*α=α．
(I)求正交矩阵Q；
(Ⅱ)求矩阵A．

选项

答案(I)显然A的特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=2,A^*的特征值为μ₁=一μ₂=一2,μ₃=1．因为α为A^*的属于特征值μ₃=1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ₃=2的特征向量，令α=α₃．令A的属于特征值λ₁=λ₂=一1的特征向量为[*]因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一x₁一x₂+x₃=0，则A的属于特征值λ₁=λ₂=一1的线性无关的特征向量为[*]令[*]再令[*] (II)由[*]

解析

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