设矩阵 求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.

admin2018-07-26  14

问题 设矩阵

求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.

选项

答案由AT=A,得(AP) T (AP)=PTA2P,而矩阵 [*] 以下欲求矩阵P,使PTA2P为对角矩阵,可以有几种方法: 方法1 考虑二次型 XTA2X=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=x12+x22+5(x3+[*]x4)2+x42 令y1=x1,y2=x2,y3=x3+[*]x4,y4=x4,得 [*] 方法2 因为A2为实对称矩阵,所以存在正交矩阵P,使得P-1A2P=PTA2P为对角矩阵.下面来求这样的正交矩阵P. 首先求出A2的全部特征值:λ123=1,λ4=9. 计算可得对应于λ123=1的特征向量为 α1=(1,0,0,0)T,α2=(0,1,0,0)T,α3=(0,0,-1,1)T α1,α2,α3已两两正交,经单位化后,得向量组 β1=(1,0,0,0)T,β2=(0,1,0,0)T,β3=(0,0,-[*])T 计算可得对应于λ4=9的特征向量为α4=(0,0,1,1)T,经单位化后,得 [*] 令矩阵 P=[β1 β2 β3 β4] [*] 则有 PTA2P=(AP)T(AP) [*] 方法3易求出实对称矩阵A的特征值为1,1;-1,3,对应的规范正交的特征向量可取为 [*] 因此有正交矩阵 P=[e1 e2 e3 e4] [*] 使P-1AP=PTAP=diag(1,1,-1,3),从而有 PTA2P=(PTAP)(PTAP)=diag(1,1,1,9).

解析
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