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  3. 设矩阵 求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

设矩阵 求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

admin2018-07-26  31
问题 设矩阵

求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．
选项
答案由AT=A，得(AP) T (AP)=PTA2P，而矩阵 [*] 以下欲求矩阵P，使PTA2P为对角矩阵，可以有几种方法： 方法1 考虑二次型 XTA2X=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=x12+x22+5(x3+[*]x4)2+x42 令y1=x1，y2=x2，y3=x3+[*]x4，y4=x4，得 [*] 方法2 因为A2为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P，使得P－1A2P=PTA2P为对角矩阵．下面来求这样的正交矩阵P． 首先求出A2的全部特征值：λ1=λ2=λ3=1，λ4=9． 计算可得对应于λ1=λ2=λ3=1的特征向量为 α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，－1，1)T α1，α2，α3已两两正交，经单位化后，得向量组 β1=(1，0，0，0)T，β2=(0，1，0，0)T，β3=(0，0，－[*])T 计算可得对应于λ4=9的特征向量为α4=(0，0，1，1)T，经单位化后，得 [*] 令矩阵 P=[β1 β2 β3 β4] [*] 则有 PTA2P=(AP)T(AP) [*] 方法3易求出实对称矩阵A的特征值为1，1；－1，3，对应的规范正交的特征向量可取为 [*] 因此有正交矩阵 P=[e1 e2 e3 e4] [*] 使P－1AP=PTAP=diag(1，1，－1，3)，从而有 PTA2P=(PTAP)(PTAP)=diag(1，1，1，9)．
解析
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考研数学三

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