设f(x)为连续函数， (1)证明：∫0π(sinx)dx＝[∫0πinx]dx＝πf(sinx)dx； (2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx＝4f(sinx)dx； (3)求．

admin2017-12-31 37

问题设f(x)为连续函数，
(1)证明：∫₀^π(sinx)dx＝[

∫₀^πinx]dx＝π

f(sinx)dx；
(2)证明：∫₀^2πf(｜sinx｜)dx＝4

f(sinx)dx；
(3)求

．

选项

答案(1)令I＝∫₀^πxf(sinx)dx，则 I＝∫₀^πxf(sinx)dx[*]∫_π⁰(π－t)f(sint)(－dt)＝∫₀^π(π－t)f(sint)dt ＝∫₀^π(π－x)f(sinx)dx＝π∫₀^πf(sinx)dx－∫₀^πxf(sinx)dx＝π∫₀^πf(sinx)dx －I 则I＝∫₀^πxf(sinx)dx＝[*]． (2)∫₀^2πf(｜sinx｜)dx＝∫_－π^πf(｜sinx｜)dx＝2∫₀^πf(｜sinx｜)dx ＝2∫₀^πf(sinx)dx＝4[*]f(sinx)dx． [*]

解析

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