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设f(x)连续,且,已知f(2)=1。求积分∫21(x)dx的值。
设f(x)连续,且,已知f(2)=1。求积分∫21(x)dx的值。
admin
2020-02-27
48
问题
设f(x)连续,且
,已知f(2)=1。求积分∫
2
1
(x)dx的值。
选项
答案
令u=x+t,则t=u-x,dt=du,根据换元积分法, ∫
x
0
(x+t)dt=∫
2x
x
(u-x)f(u)du =∫
2x
x
uf(u)du-x∫
2x
x
(u)du =[*] 在等式∫
2x
x
uf(u)du-x∫
2x
x
f(u)du=[*]两端同时对x求导可得 2xf(2x)×2-xf(x)-∫
2x
x
f(u)du-x[2f(2x)-f(x)]=[*], 移项合并得 ∫
2x
x
f(u)du=2xf(2x)+[*]。 在上式中,令x=1,结合f(2)=1,可得 ∫
2
1
f(u)du=2×1+(2+2)=6。
解析
本题考查换元法化简积分,其中涉及变限积分求导。首先容易观察到令u=x+t时,则已知积分的上、下限变为x和2x。结合变限积分化简已知积分,将其变形为关于x的函数∫
2x
x
(t)dt的表达式,令x=1,即可得出最终积分。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GkD4777K
0
考研数学三
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