设α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E一ααT的秩为________．

admin2018-07-31 30

问题设α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E一αα^T的秩为________．

选项

答案2．

解析记矩阵A=E一αα^T，则由α^Tα=1，易得A²=A，由此知A不可逆．(否则A可逆，用A^—1左乘A²=A两端，得A=E，这与A≠E矛盾(若A=E，则αα^T=O，但αα^T≠O))，所以A不可逆(由此也可知A的秩小于3)，因此A有特征值为0．设A按列分块为A=(β₁，β₂，β₃)，则由A²=A可得Aβ_j=β_j(j=1，2，3)．这表明β是A的属于特征值1的特征向量．以上说明A有特征值λ₁=0，λ₂=1．再由A的全部特征值之和=A的主对角线元素之和=3一a₁²—a₂²—a₃²=3一1=2，知A的另一特征值λ₃=1．因此，A的全部特征值为0，1，1．因为A是3阶实对称矩阵，所以，A相似于对角矩阵M=diag(0，1，1)．因相似矩阵有相同的秩，从而得r(A)=r(M)=2．

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考研数学一

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