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  3. 求G(x)=∫0xf(t)g(x一t)dt，其中f(x)=x(x≥0)，g(x)=

求G(x)=∫0xf(t)g(x一t)dt，其中f(x)=x(x≥0)，g(x)=

admin2017-10-23  8
问题 求G(x)=∫0xf(t)g(x一t)dt，其中f(x)=x(x≥0)，g(x)=
选项
答案令x一t=u，于是t=x—u，且当t从0变到x对应于u从x变到0，dt=一du，故可得 G(x)=∫0xf(t)g(x—t)dt=∫0xf(x一u)g(u)(一du)=∫0xg(u)f(x一u)du =∫0xg(t)f(x一t)dt． 又由题设知f(x一t)=x一t(t≤x)，注意到积分变量t总不会大于x，因而 当0≤x≤[*]时， G(x)=∫0xg(t)f(x—t)dt=∫0xsint．(x—t)dt=一∫0x(x—t)d(cost)=x—sinx． 当x＞[*]时， G(x)=∫0xg(t)f(x一t)dt=[*](x一t)dt=x—1． 综合得 G(x)=[*] 若被积函数的原函数是分段表示的，则也要用分段积分法求定积分．
解析 本题的特点是积分中含有参数x，且它的取值范围是[0，+∞)，由于当参数x在不同区上取值时被积函数有不同表达式，从而需要分段积分．
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考研数学三

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