讨论常数a的值，确定曲线y=aex与y=1+x的公共点个数。

admin2021-07-15 65

问题讨论常数a的值，确定曲线y=ae^x与y=1+x的公共点个数。

选项

答案若a=0,则y=ae^x成为y=0,它与y=1+x有且仅有1个交点，x₀=－1,y₀=0 以下设a≠0,令f(x)=ae^x－1－x,f’(x)=ae^x－1 若a＜0,则f’(x)＜0,f(－∞)＞0,f(+∞)＜0,两曲线存在唯一公共点若0＜a＜1，则由f’(x)＞0,得到唯一驻点，x₀=[*]＜0,f(+ ∞)＞0,又f"(x)=ae^x＞0,所以两曲线有且仅有2个公共点。若a＞1,则由f’(x)=0得到唯一驻点，x₀=[*]＜0,f(x₀)=lna＞0,f"(x)=ae^x＞0,最小值f(x₀)=lna＞0,所以两曲线无公共点。若a=1,有f(0)=0,f’(0)=0,f"(x)=e^x＞0,所以最小值f(0)=0,两曲线存在唯一公共点。

解析

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