设矩阵矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似．并求k为何值时，B为正定矩阵．

admin2019-12-26 35

问题设矩阵

矩阵B=(kE+A)²，其中k为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似．并求k为何值时，B为正定矩阵．

选项

答案【解法1】矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得A的特征值λ₁=0，λ₂=λ₃=2．于是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重)，而矩阵B=(kE+A)²的特征值为k²和(k+2)²(二重)．令矩阵 [*] 由B～Λ．要使矩阵B为正定矩阵，只需其特征值全大于零．因此当k≠0且k≠－2时，B为正定矩阵．【解法2】同解法1，首先求得矩阵A的特征值λ₁=0，λ₂=λ₃=2．记对角矩阵 [*] 因为A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使得 P^TAP=D．所以 A=(P^T)^－1DP^-1=PDP^T， [*] 由此可得 [*] 由上面的结果立刻得到，当k≠0且后≠－2时，B为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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