设矩阵，A为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵，且满足矩阵方程ABA＝3BA－4E，则B＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

admin2020-08-03 20

问题设矩阵

，A^*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵，且满足矩阵方程A^*BA＝3BA－4E，则B＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

选项

答案diag(1／3，－4／3，4／9)

解析解一应先将方程A^*BA＝3BA－4E变形为
A^*BA－3BA＝－4E，
即 (A^*－3E)BA＝－4E，
所以A^*－3E，B，A均可逆。
于是 B＝(A^*－3E)^－1(－4E)A^－1＝－4(A^*－3E)^－1A^－1
＝－4[A(A^*－3E)]^－1＝－4(｜A｜E－3A)^－1＝－4(－6E－3A)^－1

。
解二在原方程两端左乘A，利用
AA^*＝｜A｜E＝－6E，
得到＝6BA＝3ABA－4A。
在上述等式两端右乘A^－1得到
－6B＝3AB－4E，即(3A＋6E)B＝4E，
故

＝4(3A＋6E)^－1＝diag(1／3，－4／3，4／9)。

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考研数学一

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