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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f′+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)<0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f′+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)<0.
admin
2022-08-19
57
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f′+(a)>0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)<0.
选项
答案
因为[*],所以存在δ>0,当0<x-a<δ时,有[f(x)-f(a)]/(x-a)>0,从而f(x)>f(a),于是存在c∈(a,b),使得f(c)>f(a)=0, 由微分中值定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(a,b),使得 f′(ξ
1
)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0,f′(ξ
2
)=[f(b)-f(c)]/(b-c)<0. 再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得 f″(ξ)=[f′(ξ
2
)-f′(ξ
1
)]/(ξ
2
-ξ
1
)<0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/INR4777K
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考研数学三
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