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设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,一1,α1=(2,3,一1)T,α2=(1,a,2a)T分别是特征值1,2的特征向量,求齐次线性方程组(A*一2E)x=0的通解.
设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,一1,α1=(2,3,一1)T,α2=(1,a,2a)T分别是特征值1,2的特征向量,求齐次线性方程组(A*一2E)x=0的通解.
admin
2020-09-23
12
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,一1,α
1
=(2,3,一1)
T
,α
2
=(1,a,2a)
T
分别是特征值1,2的特征向量,求齐次线性方程组(A*一2E)x=0的通解.
选项
答案
因为A的特征值为1,2,一1,所以|A|=一2,进一步得A*的特征值为一2,一1,2,A*一2E的特征值为一4,一3,0. 由于A是3阶实对称矩阵,从而A*一2E也是3阶实对称矩阵,因此A*一2E相似于对角矩阵[*],故 R(A*一2E)=[*] 于是齐次线性方程组(A*一2E)x=0的基础解系中含有3一R(A*一2E)=1个线性无关的解向量. 由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的,所以α
1
T
α
2
=2+3a一2a=0,由此得a=一2. 设A的对应于特征值一1的特征向量为α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则 [*] 对上面齐次线性方程组的系数矩阵实施初等行变换,得 [*] 其同解方程组为 [*] 取α
3
=(2,-1,1)
T
. 因为A的对应于特征值一1的特征向量是A*的对应于特征值2的特征向量,也是A*一2E对应于特征值0的特征向量,即是齐次线性方程组(A*一2E)x=0的一个基础解系,故(A*一ZE)x=0的通解为 x=k(2,一1,1)
T
。 其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Icv4777K
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考研数学一
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