2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一1，α1=(2，3，一1)T，α2=(1，a，2a)T分别是特征值1，2的特征向量，求齐次线性方程组(A*一2E)x=0的通解．

设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一1，α1=(2，3，一1)T，α2=(1，a，2a)T分别是特征值1，2的特征向量，求齐次线性方程组(A*一2E)x=0的通解．

admin2020-09-23  12
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一1，α1=(2，3，一1)T，α2=(1，a，2a)T分别是特征值1，2的特征向量，求齐次线性方程组(A*一2E)x=0的通解．
选项
答案因为A的特征值为1，2，一1，所以|A|=一2，进一步得A*的特征值为一2，一1，2，A*一2E的特征值为一4，一3，0． 由于A是3阶实对称矩阵，从而A*一2E也是3阶实对称矩阵，因此A*一2E相似于对角矩阵[*]，故 R(A*一2E)=[*] 于是齐次线性方程组(A*一2E)x=0的基础解系中含有3一R(A*一2E)=1个线性无关的解向量． 由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，所以α1Tα2=2+3a一2a=0，由此得a=一2． 设A的对应于特征值一1的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，则 [*] 对上面齐次线性方程组的系数矩阵实施初等行变换，得 [*] 其同解方程组为 [*] 取α3=(2，-1，1)T． 因为A的对应于特征值一1的特征向量是A*的对应于特征值2的特征向量，也是A*一2E对应于特征值0的特征向量，即是齐次线性方程组(A*一2E)x=0的一个基础解系，故(A*一ZE)x=0的通解为 x=k(2，一1，1)T。 其中k为任意常数．
解析
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考研数学一

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