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  3. [2011年] 证明方程恰有两个实根．

[2011年] 证明方程恰有两个实根．

admin2021-01-25  53
问题 [2011年]  证明方程恰有两个实根．
选项
答案证一 设[*]显然f(x)在(－∞，+∞)内可导，且 [*] 令f’(x)=0，得其驻点[*]易看出 当[*]时，f’(x)≤0，f(x)在[*]上单调减少； 当[*]f’(x)≥0，f(x)在[*]上单调增加； 当[*]f’(x)≤0，f(x)在[*]上单调减少． 综上所述，在区间[*]上，f(x)在[*]处取极(最)小值，且 [*] 由命题1．2．3．7知，[*]是函数f(x)在[*]上唯一的零点． 又在[*]内，因[*]且[*]由定理1．2．3．1(广义零点定理)知，至少存在一点ξ，使f(ξ)=0．又f(x)在该区间内f’(x)＜0，故f(x)在该区间内单调减少，故f(x)=0在此区间内只有一根． 综上讨论可知，f(x)在(－∞，+∞)内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根． 证二 由证一的讨论易知，[*]是f(x)在区间[*]上的最大值M．因M＞0，由命题1．2．3．7知，f(x)与x轴只有两个交点，显然其中一交点为[*](因[*]又f(x)在[*]内单调减少，除[*]外，f(x)再无别的零点．故f(x)在(－∞，+∞)内只有两个零点． 注：命题1．2．3．1设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导． (1)若f’(x)＞0(或f’(x)＜0)，x∈(a，b)，则函数在区间(a，b)内单调增加(或单调减少)，对应区间(a，b)称为f(x)单调增加(或单调减少)区间． (2)f(x)在[a，b]上单调增加(或单调减少)的充要条件是除了有限多个点x∈(a，b)使f’(x)=0外，对于其他x∈(a，b)，都有f’(x)＞0(或f’(x)＜0)． (3)f(x)在[a，b]上单调不减(或单调不增)的充要条件是对于任意x∈(a，b)，都有f’(x)≥0(或f’(x)≤0)． 命题1．2．3．7 设f(x)在[a，b]上连续(a，b可为有限数，也可为无穷)，且limf(x)＞0(或＜0)，[*](或＜0)，存在c∈(a，b)，使f(x)在(a，c)内单调减少(或单调增加)，在(c，b)内单调增加(或单调减少)，即在[a，b]上f(x)仅在c处达到极(最)小值m(或极(最)大值M)，则 (1)当m＞0(或M＜0)时，在[a，b]上f(x)与x轴没有交点，即f(x)=0在[a，b]上没有实根； (2)当m=0(或M=0)时，在[q，b]上f(x)与x轴只有一个交点，即f(x)=0在[a，b]上只有一个实根； (3)当m＜0(或M＞0)时，在[a，b]上f(x)与x轴只有两个交点，即f(x)=0在[a，b]上只有两个实根．
解析
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考研数学三

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