设随机变量X的概率密度函数为 (Ⅰ)求常数A，a； (Ⅱ)求E(Y)．

admin2022-12-09 12

问题设随机变量X的概率密度函数为

(Ⅰ)求常数A，a；
(Ⅱ)求E(Y)．

选项

答案(Ⅰ)由1=A∫₀^+∞e^-ax+1dx=Ae∫₀^+∞e^-axdx=Ae/a得A=a/e； [*] (Ⅱ)E(Y)=(-1)·P{X＜1}+∫₁²(x²+1)．2e^-2xdx+1·P{X＞2} 由P{X＜1}=1-e^-2，P{X＞2}=1-P{X≤2}=e^-4， ∫₁²(x²+1)·2e^-2xdx=2∫₁²x²e^-2xdx+2∫₁²e^-2xdx =-∫₁²x²d(e^-2x)+e^-2-e^-4 =-x²e^-2x|₁²+2∫₁²xe^-2xdx+e^-2-e^-4 =-∫₁²xd(e^-2x)+2e^-2-5e^-4 =-xe^-2x|₁²+∫₁²e^-2xdx+2e^-2-5e^-4 =∫₁²e^-2xdx+3e^-2-7e^-4=(7/2)e^-2-(15/2)e^-4，故E(Y)=(9/2)e^-2-(13/2)^-4e-1．

解析

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