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  3. 设可导函数y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求函数y=y(x)的极值．

设可导函数y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求函数y=y(x)的极值．

admin2020-05-02  11
问题 设可导函数y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1确定的，求函数y=y(x)的极值．
选项
答案方程2y3－2y2+2xy－x2=1两端对x求导，得 6y2y′－4yy′+2y+2xy′－2x=0 整理，得 (6y2－4y+2x)y′+2(y－x)=0 (*) 令y′0，代入上式得y－x=0，即y=x．将其代入原方程，得 2x3－x2－1=0， 即(x－1)(2x2+x+1)=0 由方程2x2+x+1=0无实根推知，x=1是函数y=y(x)的唯一驻点．将x=1代入原方程得y3－y2+y=1，即(y－1)(y2+1)=0，从而解得y=1．式(*)两端对x再求导，得 (12yy′－4y′+2)y′+(6y2－4y+2x)y"+2(y′－1)=0 将x=1，y=1，y′(1)=0代入上式，得 (6－4+2)y"|－2=0 从而有[*]故隐函数y=y(x)在x=1处取得极小值，且极小值为y(1)=1，没有极大值．
解析
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考研数学一

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