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微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________.
微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________.
admin
2017-05-18
50
问题
微分方程y’’-2y’+2y=e
x
+2x的通解为_________.
选项
答案
y=e
x
(C
1
cosx+C
2
sinx)+e
x
+x+1
解析
这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题.
首先求y’’-2y’+2y=0的通解.y’’-2y’+2y=0的特征方程为r
2
-2r+2=0,特征根为r
1,2
=1±i,
所以其通解为Y=e
x
(C
1
cosx+C
2
sinx).
其次求y’’-2y’+2y=e
x
+2x的一个特解.设y
1
*
=Ae
x
是y’’-2y’+2y=e
x
的一个特解,则
y
1
*
’=y
2
*
’’=Ae
x
,将其代入到y’’-2y’+2y=e
x
并化简,得A=1,所以y
1
=e
x
.
设y
2
*
=ax+b是y’’-2y’+2y=2x的一个特解,则y
2
*
’=a,y
2
*
’’=0,将其代入到y’’-2y’+2y=2x并化简,比较等式两边x同次幂的系数,得a=1,b=1,所以y
2
=x+1.故y
*
=y
1
*
+y
2
*
=e
x
+x+1是y’’-2y’+2y=e
x
+2x的一个特解.
最后写出y’’-2y’+2y=e
x
+2x的通解,为
y=Y+y
*
=e
x
(C
1
cosx+C
2
sinx)+e
x
+x+1.
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