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设A是n阶矩阵,证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是|A|≠0.
设A是n阶矩阵,证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是|A|≠0.
admin
2019-07-22
72
问题
设A是n阶矩阵,证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是|A|≠0.
选项
答案
必要性.对矩阵A按列分块A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),则 [*],Ax=b有解[*]α
1
,α
2
,…,α
n
可表示任何n维向量b [*]α
1
,α
2
,…,α
n
可表 示e
1
=(1,0,0,…,0)
T
,e
2
=(0,1,0,…,0)
T
,…,e
n
=(0,0,0,…,1)
T
[*]r(α
1
,α
2
,…,α
n
)≥r(e
1
,e
2
,…,e
n
)=n [*]r(A)=n. 所以|A|≠0. 充分性.由克莱姆法则,行列式|A|≠0时方程组必有唯一解,故[*],Ax=b总有解.
解析
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考研数学二
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