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设n维列向量α1，α2，…，αn-1线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn-1，β1线性无关．
设n维列向量α1，α2，…，αn-1线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn-1，β1线性无关．
admin
2016-10-20
63
问题
设n维列向量α
1
，α
2
，…，α
n-1
线性无关，且与非零向量β
1
，β
2
都正交．证明β
1
，β
2
线性相关，α
1
，α
2
，…，α
n-1
，β
1
线性无关．
选项
答案
用α
1
，α
2
，…，α
n-1
构造(n-1)×n矩阵：A=[*]因为β
1
与每个α
i
都正交，有α
i
T
β
1
=0，进而Aβ
1
=0，即β
1
是齐次方程组Ax=0的非零解．同理β
2
也是Ax=0的解． 又因r(a)=r(α
1
，α
2
，…，α
n-1
)=n-1，齐次方程组Ax=0的基础解系仅由n-r(A)=1个解向量构成，从而β
1
，β
2
线性相关．若 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
+lβ
1
=0， (*) 那么，用β
1
作内积，有k
1
(β
1
，α
1
)+k
2
(β
1
，α
2
)+…+k
n-1
(β
1
，α
n-1
)+l(β
1
，β
1
)=0． 因为(β
1
，α
i
)=0 (i：1，2，…，n-1)，及｜｜β
1
｜｜≠0， 有l(β
1
，β
1
)=l｜｜β
1
｜｜
2
=0， 得到l=0.将l=0代入(*)式，有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
=0． 由于α
1
，α
2
，…，α
n-1
线性无关，得k
1
=k
2
=…=k
n-1
=0，所以(*)中组合系数必全是零，即α
1
，α
2
，…，α
n-1
，β
1
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KeT4777K
0
考研数学三
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