二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换．

admin2016-10-20 125

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=5x₁²+5x₂²+cx₃²-2x₁x₂-6x₂x₃+6x₁x₃的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换．

选项

答案二次型矩阵A=[*]，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有｜A｜=24(c-3)=0[*]c=3．由特征多项式 [*] 可知矩阵A的特征值是0，4，9．由(0E-A)x=0得A=0的特征向量α₁=(-1，1，2)^T．由(4E-A)x=0得A=4的特征向量α₂=(1，1，0)^T．由(9E-A)x=0得A=9的特征向量α₃=(1，-1，1)^T．令P₁=(α₁，α₂，α₃)，经x=P₁y有x^TAx=y^TAy= [*]．而所用坐标变换是x=Cz，其中 [*]

解析

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