二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩为2,求c及此二次型的规范形,并写出相应的坐标变换.

admin2016-10-20  38

问题 二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩为2,求c及此二次型的规范形,并写出相应的坐标变换.

选项

答案二次型矩阵A=[*],由二次型的秩为2,即矩阵A的秩r(A)=2,则有 |A|=24(c-3)=0[*]c=3. 由特征多项式 [*] 可知矩阵A的特征值是0,4,9. 由(0E-A)x=0得A=0的特征向量α1=(-1,1,2)T. 由(4E-A)x=0得A=4的特征向量α2=(1,1,0)T. 由(9E-A)x=0得A=9的特征向量α3=(1,-1,1)T. 令P1=(α1,α2,α3),经x=P1y有xTAx=yTAy= [*]. 而所用坐标变换是x=Cz,其中 [*]

解析
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