2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)， 其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)， 其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

admin2018-09-25  52
问题 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试证明：
    f(a+b)≤f(a)+f(b)，
其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
选项
答案用拉格朗日中值定理． 当a=0时，等号成立； 当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得[f(a+b)－f(b)]－[f(a)－f(0)]=af’(ξ2)－af’(ξ1)． 因为f’(x)在(0，c)内单调减少，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，于是， [f(a+b)－f(b)]－[f(a)－f(0)]≤0， 即f(a+b)≤f(a)+f(b)．
解析
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考研数学一

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