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  3. 求微分方程y’’+2y’+2y=的通解．

求微分方程y’’+2y’+2y=的通解．

admin2018-09-25  48
问题 求微分方程y’’+2y’+2y=的通解．
选项
答案先用三角公式将自由项写成e－x+e－xcos x，然后再用叠加原理和待定系数法求特解． 对应的齐次方程的通解为 y=(C1cos x+C2sin x)e－x． 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项e－x，e－xcos x，分别考虑 y’’+2y’+2y=e－x， ① 与 y’’+2y’+2y=e－xcos x． ② 对于①，令 y1*=Ae－x， 代入可求得A=1，从而得y1*=e－x． 对于②，令 y2*=xe－x(Bcos x +Csin x)， 代入可求得B=0，[*]，从而得y2*=[*]xe－xsin x．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y1*+y2*=e－x(C1cos x+C2sin x)+e－x+[*]xe－xsin x，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学一

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