求微分方程y’’+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解．

admin2016-10-20 30

问题求微分方程y’’+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解．

选项

答案题设方程对应的特征方程为 r²+4r+5=0，特征根为r=-2±i，从而对应齐次方程y’’+4y’+5y=0的通解为 y(x)=e^-2x(C₁cosx+C₂sinx)．由非齐次项8cosx知±i不是特征根，故可设原方程的一个特解为y^*=Acosx+Bsinx．将y^*代入原方程．比较系数得A=B=1，因此y^*=cosx+sinx．于是，原方程的通解为 y=e^-2x(C₁cosx+C₂sinx)+cosx+sinx．当x→-∞时，e^-2x→+∞，所以要使y有界，只有C₁=C₂=0．故所求的特解为y=cosx+sinx．

解析

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