2. 考研
  3. 已知α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，－1，7)T， (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值； (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4； (Ⅲ)当a=3时，证明α1，

已知α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，－1，7)T， (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值； (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4； (Ⅲ)当a=3时，证明α1，

admin2015-05-07  71
问题 已知α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，－1，7)T，
    (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值；
    (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；
    (Ⅲ)当a=3时，证明α1，α2，α3，α4可表示任一个4维列向量．
选项
答案(Ⅰ)α1，α2，α3线性相关[*]秩r(α1，α2，α3)<3．由于 [*] 所以a=－3． (Ⅱ)设α4=(x1，x2，x3，x4)T，则有(α1，α4)=0，(α2，α4)=0，(α3，α4)=0，即 [*] 所以α4=k(19，－6，0，1)T，其中k≠0． (Ⅲ)由于｜α1，α2，α3，α4｜ [*] =－12×348k≠0． 所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一4维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出． 或者由(Ⅰ)知a=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么：若 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0， 用[*]左乘上式两端并利用[*]α1=[*]α2=[*]α3=0，有k4[*]α4=0，又α4≠0，故必有k4=0． 于是k1α1+k2α2+k3α3=0．由α1，α2，α3线性无关知必有k1=0，k2=0，k3=0，从而α1，α2，α3，α4必线性无关．而5个4维列向量必线性相关，因此任一个4维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出．
解析
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考研数学一

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