设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f″(x)≠0．证明：对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]

admin2019-09-27 3

问题设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f″(x)≠0．证明：
对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得
f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]

选项

答案对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f″(x)∈C(－1，1)且f″(x)≠0，所以f″(x)在(－1，1)内保号，不妨设f″(x)＞0，则f′(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．

解析

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考研数学一

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