2. 考研
  3. 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0， ｜(x)｜≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证f″(x)在(0，+∞)上有界．

设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时 ｜f(x)｜≤M0， ｜(x)｜≤M3， 其中M0，M3为非负常数，求证f″(x)在(0，+∞)上有界．

admin2021-11-15  14
问题 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时
｜f(x)｜≤M0， ｜(x)｜≤M3，
其中M0，M3为非负常数，求证f″(x)在(0，+∞)上有界．
选项
答案分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f′(x)+[*](ξ)(x＜ξ＜x+1)， f(x－1)=f(x)－f′(x)+[*](η)(x－1＜η＜x)， 两式相加并移项即得 f″(x)=f(x+1)+f(x－1)－2f(x)+[*](ξ)]， 则当x＞1时有｜f″(x)｜≤4M0+[*]M3． 2)当0＜x≤1时对f″(x)用拉格朗日中值定理，有 f″(x)=f″(x)－f″(1)+f″(1)=[*](ξ)(x－1)+f″(1)，其中ξ∈(x，1)． [*] ｜f″(x)｜≤｜[*](ξ)｜｜x－1｜+｜f″(1)｜≤M3+｜f″(1)｜(x∈(0，1])． 综合即知f″(x)在(0，+∞)上有界．
解析
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考研数学一

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