设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明r(AB)≥r(A)+r(B)－n．

admin2019-12-26 15

问题设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明r(AB)≥r(A)+r(B)－n．

选项

答案设r(A)=r，所以存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使 [*] 将矩阵Q^－1B分块为 [*] 其中，B₁是r×p矩阵，B₂是(n－r)×p矩阵，由于 [*] 所以 [*] 又 [*] 故 r(AB)≥r(A)+r(B)－n．注：当AB=D时，有 r(A)+r(B)≤n．这也是矩阵求秩的一个基本公式．

解析

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