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设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．
设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．
admin
2021-03-10
110
问题
设α
1
，α
2
，α
3
为两两正交的单位向量，又β≠0且α
1
，α
2
，α
3
，β线性相关，
令
(Ⅰ)证明：β可由α
1
，α
2
，α
3
唯一线性表示；
(Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．
选项
答案
(Ⅰ)因为α
1
，α
2
，α
3
为两两正交的单位向量，所以α
1
，α
2
，α
3
线性无关，又因为α
1
，α
2
，α
3
，β线性相关，令β＝k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋k
3
α
3
＝l
1
α
1
＋l
2
α
2
＋l
3
α
3
， 得(k
1
－l
1
)α
1
＋(k
2
－l
2
)α
2
＋(k
3
－l
3
)α
3
＝0， 因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以k
1
－l
1
＝0，k
2
－l
2
＝0，k
3
－l
3
＝0，即k
1
＝l
1
，k
2
＝l
2
，k
3
－l
3
， 所以β可由α
1
，α
2
，α
3
唯一线性表示． (Ⅱ)设β＝k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋k
3
α
3
，即β＝(α
1
，α
2
，α
3
)[*](其中k
1
，k
2
，k
3
唯一)。 则Aβ＝（α
1
，α
2
，α
3
）[*] 因为α
1
，α
2
，α
3
两两正交且为单位向量，所以[*](α
1
，α
2
，α
3
)＝E， 从而Aβ＝（α
1
，α
2
，α
3
）[*] 于是β是矩阵A的属于特征值1的特征向量．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OK84777K
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考研数学二
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